13.机器人的运动范围

题目

地上有一个m行n列的方格，从坐标 [0,0] 到坐标 [m-1,n-1] 。

一个机器人从坐标 [0, 0] 的格子开始移动，它每次可以向左、右、上、下移动一格（不能移动到方格外），也不能进入行坐标和列坐标的数位之和大于k的格子。

例如，当k为18时，机器人能够进入方格 [35, 37] ，因为3+5+3+7=18。但它不能进入方格 [35, 38]，因为3+5+3+8=19。请问该机器人能够到达多少个格子？

示例 1：

输入：m = 2, n = 3, k = 1
输出：3

示例 2：

输入：m = 3, n = 1, k = 0
输出：1

提示：

1 <= n,m <= 100
0 <= k <= 20

来源：力扣（LeetCode）

链接：https://leetcode-cn.com/problems/ji-qi-ren-de-yun-dong-fan-wei-lcof

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一、分析

矩阵搜索问题一般有两种思路：

通过递归实现的深度优先DFS
- 朝一个方向走到底，再回退
用过队列实现的广度优先BFS
- 按照“平推”的方式向前搜索

二、解法一：深度优先及优化

func movingCount(_ m: Int, _ n: Int, _ k: Int) -> Int {
    if m <= 0 || n <= 0 || k < 0 {
        return 0
    }
    var flags: [[Bool]] = Array(repeating: Array(repeating: false, count: n), count: m)
    return moveTo(0, 0, k, flags: &flags)
}

2.1 核心递归逻辑

func moveTo(_ x: Int, _ y: Int, _ k: Int, flags: inout [[Bool]]) -> Int {
    if (x < 0 || x >= flags.first?.count ?? 0) ||
        (y < 0 || y >= flags.count) ||
        (flags[y][x] == true) ||
        (digitSum(x) + digitSum(y) > k)
    {
        return 0
    }
    
    flags[y][x] = true
    
    let count = 1
        + moveTo(x + 1, y, k, flags: &flags)
        + moveTo(x - 1, y, k, flags: &flags)
        + moveTo(x, y + 1, k, flags: &flags)
        + moveTo(x, y - 1, k, flags: &flags)
    
    return count
}

2.2 数位和函数

func digitSum(_ num: Int) -> Int {
    var temp = num
    var result = 0
    while temp > 0 {
        result += temp % 10
        temp = Int(floor(Double(temp) / 10.0))
    }
    return result
}

2.3 总结

时间复杂度
- 最差O(m*n)
空间复杂度
- 最差O(m*n)

三、深度优先算法优化

在深度优先的解法中，我们才拆分为了上下左右四个方向的子问题。

但实际上本题只需要右下两个方向就可以，因为上左一定是走过的。

优化后的核心 moveTo 代码：

func moveTo(_ x: Int, _ y: Int, _ k: Int, flags: inout [[Bool]]) -> Int {
    if (x < 0 || x >= flags.first?.count ?? 0) ||
        (y < 0 || y >= flags.count) ||
        (flags[y][x] == true) ||
        (digitSum(x) + digitSum(y) > k)
    {
        return 0
    }
    
    flags[y][x] = true
    
    let count = 1
        + moveTo(x + 1, y, k, flags: &flags)
        + moveTo(x, y + 1, k, flags: &flags)
    
    return count
}

可以发现减少了多余的计算效率提升了不少，这点如果在面试中注意到的话是个很好的加分项哦

思路回顾

设 fn(x, y) 代表从 (x, y) 开始能到的格子数
从左上角开始的那么我们可以转化一下
即：fn(x, y) = fn(x + 1, y) + fn(x, y + 1)

四、解法二：广度优先

广度优先解法理解相比深度优先不够直观

func movingCount_bfs(_ m: Int, _ n: Int, _ k: Int) -> Int {
    var visited = Array(repeating: Array(repeating: false, count: n), count: m)
    var result = 0
    var queue:Array = [(0,0,0,0)]

    while !queue.isEmpty {
        let (y,x,si,sj) = queue.removeFirst()
        if y >= m || x >= n || k < si + sj || visited[y][x]{
            continue
        }
        visited[y][x] = true
        result = result + 1
        queue.append((y + 1, x, digitSum(y + 1), sj))
        queue.append((y, x + 1, si, digitSum(x + 1)))
    }
    return result
}