14.II.剪绳子

一、 题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：

2 <= n <= 1000

注意：本题与主站 343 题相同

来源：力扣（LeetCode）

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二、 常规思路与问题

咋一看，和14-I.剪绳子没什么区别嘛～ 不就是结果要取模嘛～

2.1 一般思路

那你就上当了

我们用动态规划的解法来试试：

func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
    if n < 4 {
        return n - 1
    }
    var dp = [Int](repeating: 1, count: n + 1)
    for i in 3...n {
        for j in 2..<i {
            dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
        }
    }
    return dp[n] % 1_000_000_007
}

试试两个测试用例：

10 - 36
2 - 1

很正常没问题嘛～🤷‍♂️

2.2 试试120

120

居然出错了？

2.3 数据长度问题

请注意本题的数据范围 2 <= n <= 1000 和第一题的 2 <= n <= 58，差别很大。

上面报错就是因为数据超出了范围了。

那你可能会想到，那我换 Int64 ？我换 long ？

然鹅并不行

那我每次纯数据都取一下模？

更不行，中间数据都变了，结果当然更错

我们用 Decimal 来接收看看120时到底是多大：

12157665459056928801

120 时就已经 20位 了，更何况本题的范围最大1000。

我们就不要再数据类型的选择上进行纠结了

2.4 Decimal 解法

这里将元素使用 Decimal 进行承载

let base = NSDecimalNumber(decimal: Decimal(1_000_000_007))

func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
    if n < 4 {
        return n - 1
    }

    var dp = [Decimal](repeating: 1, count: n + 1)
    for i in 3...n {
        for j in 2..<i {
            dp[i] = max(dp[i], max(Decimal(j) * Decimal(i - j), Decimal(j) * dp[i - j]))
        }
    }

    let handler = NSDecimalNumberHandler(roundingMode: .down, scale: 0, raiseOnExactness: false, raiseOnOverflow: false, raiseOnUnderflow: false, raiseOnDivideByZero: false)

    let result = NSDecimalNumber(decimal: dp[n])
    let baseCount = result.dividing(by: base).rounding(accordingToBehavior: handler)

    let tp = result.subtracting(base.multiplying(by: baseCount))

    return Int(truncating: tp)
}

Decimal

Decimal

结果到 255 的时候还是错了，还是丢失了精度。毕竟 NSDecimalNumber 也是有范围的

Decimal

感觉想继续用动态规划不太现实了

2.5 补充 Java 的 BigInteger 可以动态规划

import java.math.BigInteger;
class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];
         Arrays.fill(dp, BigInteger.valueOf(1));
        // dp[1] = BigInteger.valueOf(1);
        for(int i = 3; i < n + 1; i++){
            for(int j = 1; j < i; j++){
                dp[i] = dp[i].max(BigInteger.valueOf(j * (i - j))).max(dp[i - j].multiply(BigInteger.valueOf(j)));
            }
        }
        return dp[n].mod(BigInteger.valueOf(1000000007)).intValue();
    }
}

链接：作者：ollieq

这里就不再纠结数据类型了

三、 贪心-循环求余

尽可能多的切成长度为3的，乘积最大

3.1 解法

func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
    if n < 4 {
        return n - 1
    }
    var res = 1
    var n = n
    while n > 4 {
        res = res * 3 % 1_000_000_007
        n -= 3
    }
    return res * n % 1_000_000_007
}

时间复杂度	空间复杂度
O(n)	O(1)

真的是快

真快

3.2 循环求余

详细可以移步这个题解

循环求余

四、贪心-快速幂

核心是通过 快速幂 算法及模运算规律，控制数据范围。详细了解可以移步快速幂

LeetCode

4.1 解法

func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
    if n < 4 {
        return n - 1
    }
    let a = n / 3, b = n % 3

    if b == 0 {
        return modPow(3, a) % 1_000_000_007
    }
    else if b == 1 {
        return modPow(3, a - 1) * 4 % 1_000_000_007
    }
    else {
        return modPow(3, a) * 2 % 1_000_000_007
    }
}

func modPow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
    var res = 1
    var x = x
    var n = n

    while n > 0 {
        if n & 1 == 1 {
            res *= x
            res %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
        }
        x *= x
        x %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
        n >>= 1
    }

    return res
}

快速幂