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14.II.剪绳子

一、 题目

给你一根长度为 n 的绳子,请把绳子剪成整数长度的 m 段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]...*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7(1000000007),如计算初始结果为:1000000008,请返回 1。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示:
2 <= n <= 1000
注意:本题与主站 343 题相同
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权,非商业转载请注明出处。

二、 常规思路与问题

咋一看,和14-I.剪绳子没什么区别嘛~ 不就是结果要取模嘛~

2.1 一般思路

那你就上当了
我们用动态规划的解法来试试:
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
var dp = [Int](repeating: 1, count: n + 1)
for i in 3...n {
for j in 2..<i {
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
}
}
return dp[n] % 1_000_000_007
}
试试两个测试用例:
10 - 36
2 - 1
很正常没问题嘛~🤷‍♂️

2.2 试试120

120
居然出错了?

2.3 数据长度问题

请注意本题的数据范围 2 <= n <= 1000 和第一题的 2 <= n <= 58,差别很大。
上面报错就是因为数据超出了范围了。
那你可能会想到,那我换 Int64 ?我换 long
然鹅并不行
那我每次纯数据都取一下模?
更不行,中间数据都变了,结果当然更错

我们用 Decimal 来接收看看120时到底是多大:

12157665459056928801
120 时就已经 20位 了,更何况本题的范围最大1000
我们就不要再数据类型的选择上进行纠结了

2.4 Decimal 解法

这里将元素使用 Decimal 进行承载
let base = NSDecimalNumber(decimal: Decimal(1_000_000_007))
func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
var dp = [Decimal](repeating: 1, count: n + 1)
for i in 3...n {
for j in 2..<i {
dp[i] = max(dp[i], max(Decimal(j) * Decimal(i - j), Decimal(j) * dp[i - j]))
}
}
let handler = NSDecimalNumberHandler(roundingMode: .down, scale: 0, raiseOnExactness: false, raiseOnOverflow: false, raiseOnUnderflow: false, raiseOnDivideByZero: false)
let result = NSDecimalNumber(decimal: dp[n])
let baseCount = result.dividing(by: base).rounding(accordingToBehavior: handler)
let tp = result.subtracting(base.multiplying(by: baseCount))
return Int(truncating: tp)
}
Decimal
Decimal
结果到 255 的时候还是错了,还是丢失了精度。毕竟 NSDecimalNumber 也是有范围的
Decimal
感觉想继续用动态规划不太现实了

2.5 补充 Java 的 BigInteger 可以动态规划

import java.math.BigInteger;
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];
Arrays.fill(dp, BigInteger.valueOf(1));
// dp[1] = BigInteger.valueOf(1);
for(int i = 3; i < n + 1; i++){
for(int j = 1; j < i; j++){
dp[i] = dp[i].max(BigInteger.valueOf(j * (i - j))).max(dp[i - j].multiply(BigInteger.valueOf(j)));
}
}
return dp[n].mod(BigInteger.valueOf(1000000007)).intValue();
}
}
链接:作者:ollieq
这里就不再纠结数据类型了

三、 贪心-循环求余

尽可能多的切成长度为3的,乘积最大

3.1 解法

func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
var res = 1
var n = n
while n > 4 {
res = res * 3 % 1_000_000_007
n -= 3
}
return res * n % 1_000_000_007
}
时间复杂度
空间复杂度
O(n)
O(1)
真的是快
真快

3.2 循环求余

详细可以移步这个题解
循环求余

四、贪心-快速幂

核心是通过 快速幂 算法及模运算规律,控制数据范围。详细了解可以移步快速幂
LeetCode

4.1 解法

func cuttingRope(_ n: Int) -> Int {
if n < 4 {
return n - 1
}
let a = n / 3, b = n % 3
if b == 0 {
return modPow(3, a) % 1_000_000_007
}
else if b == 1 {
return modPow(3, a - 1) * 4 % 1_000_000_007
}
else {
return modPow(3, a) * 2 % 1_000_000_007
}
}
func modPow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
var res = 1
var x = x
var n = n
while n > 0 {
if n & 1 == 1 {
res *= x
res %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
}
x *= x
x %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
n >>= 1
}
return res
}
快速幂