16.数值的整数次方

一、 题目

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即，xn）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

示例 1：

输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：

输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：

输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2^(-2) = 1 / (2^(2)) = 1/4 = 0.25

提示：

-100.0 < x < 100.0
-231 <= n <= 231-1
-104 <= xn <= 104

来源：力扣（LeetCode）

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二、 快速幂

幂运算是我们最常用的运算之一。如果我们要求 x 的 N 次幂，那么想当然的就会写出一个 N 次的循环，然后累乘得到结果。这种幂运算的复杂度是O(N)。

var res = 1
for _ in 0..<n {
    res *= x
}
return res

那么有没有更快的运算方式呢？

在计算机领域有一种常用的快速幂算法：蒙哥马利幂（Montgomery reduction）算法。将复杂度从O(N) 降到了 O(logN)

2.1 思路一：递归

• 若 N 为偶数，可以先求 xN/2，然后再平方。

• 若 N 为奇数，可以先求 x(N-1)/2，然后再平方，再乘以x

快速幂的最基础思想就是上面两条了。

求解 xN/2，x(N-1)/2 时也可以用到上面的思路，每次将指数除以2，每次都可以将复杂度降低一半，知道最后指数为1。

Swift实现

• 这里不考虑大数，仅作为思路展示

func quickpow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
    if n == 0 {// 直到最后指数为0
        return 1
    }
    let res = quickpow(x, n/2)
    if n%2 != 0 {// n 为奇数
        return res * res * x
    }
    // n为偶数
    return res * res
}

2.2 思路二：二进制拆分

我们以 x14 为例进行推导。

x14(10) = x1110(2) = x1000(2) * x100(2) * x10(2)

换个方向，更直观：

x1110(2) = x10(2) * x100(2) * x1000(2)

推论：

• 设 x 的 N 次幂等于 res

  • 1: 在指数 N 的二进制形式下，从最低位开始左移一位，x自乘一次（和指数N左移一位保持一致）

  • 如果当前位为1

    • 当前位a到最低位，中间位全部置0时表示的值b，xb的累乘

  • 如果当前位位0

    • 执行1

  • 循环直到指数N等于0

当前位	指数b	res
1110	0	x0(2)
1110	10	x10(2)
1110	100	x10(2) * x100(2)
1110	1000	x10(2) x100(2) x1000(2)

Swift实现

• 这里不考虑大数，仅作为思路展示

func quickpow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
    var res = 1
    var x = x
    var n = n

    while n > 0 {
        if n & 1 == 1 { // 如果n的当前末位为1
            res *= x // res乘上当前的x
        }
        x *= x// x自乘，当前指数左移一位
        n >>= 1// n右移一位，想当于 n / 2
    }

    return res
}

三、 解题

本题的条件与上面介绍的快速幂中的例子略有不同，调整一下即可。

3.1 递归

func myPow(_ x: Double, _ n: Int) -> Double {
    // 特殊处理 0 1 -1 可以直接 return 结果
    if x == 0 || x == 1 {
        return x
    }
    else if x == -1 {
        return (n & 1 == 1 ? -1 : 1)
    }

    if n == 0 {
        return 1
    }
    else if n < 0 {
        return myPow(1/x, -n)
    }
    else if n == 1 {
        return x
    }

    let temp = myPow(x, n >> 1)
    return temp * temp * ((n & 1 == 1) ? x : 1)
}

1

3.2 非递归

func myPow(_ x: Double, _ n: Int) -> Double {
    // 特殊处理 0 1 -1 可以直接 return 结果
    if x == 0 || x == 1 {
        return x
    }
    else if x == -1 {
        return (n & 1 == 1 ? -1 : 1)
    }

    if n == 0 {
        return 1
    }

    var ans: Double = 1
    var power = abs(n)
    var newX = x
    while power > 0 {
        if power & 1 == 1 {
            ans *= newX
        }
        newX *= newX
        power = power >> 1
    }
    return n < 0 ? 1 / ans : ans
}

2