03.快速幂

前言

幂运算是我们最常用的运算之一。如果我们要求 x 的 N 次幂，那么想当然的就会写出一个 N 次的循环，然后累乘得到结果。这种幂运算的复杂度是O(N)。

var res = 1
for _ in 0..<n {
    res *= x
}
return res

一、 快速幂

那么有没有更快的运算方式呢？

在计算机领域有一种常用的快速幂算法：蒙哥马利幂（Montgomery reduction）算法。将复杂度从O(N) 降到了 O(logN)

1.1 思路一：递归

• 若 N 为偶数，可以先求 xN/2，然后再平方。

• 若 N 为奇数，可以先求 x(N-1)/2，然后再平方，再乘以x

快速幂的最基础思想就是上面两条了。

求解 xN/2，x(N-1)/2 时也可以用到上面的思路，每次将指数除以2，每次都可以将复杂度降低一半，知道最后指数为1。

Swift实现

• 这里不考虑大数，仅作为思路展示

func quickpow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
    if n == 0 {// 直到最后指数为0
        return 1
    }
    let res = quickpow(x, n/2)
    if n%2 != 0 {// n 为奇数
        return res * res * x
    }
    // n为偶数
    return res * res
}

1.2 思路二：二进制拆分

我们以 x14 为例进行推导。

x14(10) = x1110(2) = x1000(2) * x100(2) * x10(2)

换个方向，更直观：

x1110(2) = x10(2) * x100(2) * x1000(2)

推论：

• 设 x 的 N 次幂等于 res

  • 1: 在指数 N 的二进制形式下，从最低位开始左移一位，x自乘一次（和指数N左移一位保持一致）

  • 如果当前位为1

    • 当前位a到最低位，中间位全部置0时表示的值b，xb的累乘

  • 如果当前位位0

    • 执行1

  • 循环直到指数N等于0

当前位	指数b	res
1110	0	x0(2)
1110	10	x10(2)
1110	100	x10(2) * x100(2)
1110	1000	x10(2) x100(2) x1000(2)

Swift实现

• 这里不考虑大数，仅作为思路展示

func quickpow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
    var res = 1
    var x = x
    var n = n

    while n > 0 {
        if n & 1 == 1 { // 如果n的当前末位为1
            res *= x // res乘上当前的x
        }
        x *= x// x自乘，当前指数左移一位
        n >>= 1// n右移一位，想当于 n / 2
    }

    return res
}

1.3 参考

Pecco-算法学习笔记(4)：快速幂

【朝夕的ACM笔记】杂项-快速幂

二、 快速幂取模

2.1 模运算规律

• (a + b) % p = (a % p + b % p) % p

• (a - b) % p = (a % p - b % p + p) % p

• (a b) % p = (a % p b % p) % p

• ab % p = ((a % p)b) % p

根据这个规律，可以推导出同余性质

2.2 常见问题场景

我们经常会看到 输出结果对x取模。这种题目一般考察两点：

• 在原算法的基础上，多一个取模运算来考察你对取模运算规律的掌握

• 大数据时数据增长太快，64 位甚至 128 位的整形无法表示

  • 「剑指Offer」14-II.剪绳子是个典型问题

    • 题解

2.3 利用快速幂，控制数据范围

14-II.剪绳子 中通过快速幂，结合模运算规律，控制了幂运算结果的范围不会超过 1_000_000_007。

func modPow(_ x: Int, _ n: Int) -> Int {
    var res = 1
    var x = x
    var n = n

    while n > 0 {
        if n & 1 == 1 {
            res *= x
            res %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
        }
        x *= x
        x %= 1_000_000_007 // 限制了数据范围
        n >>= 1
    }

    return res
}